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最佳答案：
# 选择题
1. 当\(x \to 0\)时，若\(x - \tan x\)与\(x^{k}\)是同阶无穷小，则\(k = (\ )\)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案为C。因为\(x \to 0\)时，\(x - \tan x\sim-\frac{1}{3}x^{3}\)，故\(k = 3\)。
2. 设函数\(f(x)=\begin{cases}x x , u0026 x\leq0 \\x\ln x, u0026 x u003e 0\end{cases}\)，则\(x = 0\)是\(f(x)\)的（ ）
A. 可导点，极值点 B. 不可导点，极值点
C. 可导点，非极值点 D. 不可导点，非极值点
答案为B。\(f_{-}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=0\)，\(f_{ }(0)=\lim\limits_{x \to 0^{ }}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^{ }}\frac{x\ln x}{x}=-\infty\)，故不可导。又\(f(0)=0\)，当\(xu003e0\)时，\(f(x)u003cf(0)\)，当\(xu003c0\)时，\(f(x)u003cf(0)\)，\(x = 0\)是\(f(x)\)的极大值点。
3. 设\(\{u_{n}\}\)是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
A. \(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{u_{n}}{n}\) B. \(\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u_{n}}{n}\)
C. \(\sum_{n = 1}^{\infty}(1-\frac{u_{n}}{u_{n 1}})\) D. \(\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{n 1}^{2}-u_{n}^{2})\)
答案为D。因为\(\{u_{n}\}\)单调增加有界，则\(\lim\limits_{n \to \infty}u_{n}\)存在，令\(S_{n}=(u_{2}^{2}-u_{1}^{2}) (u_{3}^{2}-u_{2}^{2}) \cdots (u_{n 1}^{2}-u_{n}^{2})=u_{n 1}^{2}-u_{1}^{2}\)，\(\lim\limits_{n \to \infty}S_{n}=\lim\limits_{n \to \infty}(u_{n 1}^{2}-u_{1}^{2})\)存在，所以级数\(\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{n 1}^{2}-u_{n}^{2})\)收敛。
# 填空题
1. 设函数\(f\)可导，\(z = f(y\sin x - x\sin y)\)，则\(\frac{1}{\cos x}\frac{\partial z}{\partial x} \frac{1}{\cos y}\frac{\partial z}{\partial y}=\)______。
答案为\(0\)。\(\frac{\partial z}{\partial x}=f(y\sin x - x\sin y)\cdot(y\cos x-\sin y)\)，\(\frac{\partial z}{\partial y}=f(y\sin x - x\sin y)\cdot(\sin x - x\cos y)\)，所以\(\frac{1}{\cos x}\frac{\partial z}{\partial x} \frac{1}{\cos y}\frac{\partial z}{\partial y}=f(y\sin x - x\sin y)\cdot(y - \frac{\sin y}{\cos x}) f(y\sin x - x\sin y)\cdot(\frac{\sin x}{\cos y}-x)=0\)。
2. 微分方程\(yy-y^{2}=2y^{2}\)满足条件\(y(0)=\frac{1}{2},y(0)=-1\)的特解\(y=\)______。
答案为\(\frac{1}{2}e^{-2x}\)。令\(p = y\)，则\(y = p\frac{dp}{dy}\)，原方程化为\(yp\frac{dp}{dy}-p^{2}=2y^{2}\)，即\(\frac{pdp - 2p^{2}dy}{y^{2}}=2dy\)，进一步变形为\(d(\frac{p^{2}}{y})=2dy\)，积分可得\(\frac{p^{2}}{y}=2y C_{1}\)，由\(y(0)=\frac{1}{2},y(0)=-1\)可得\(C_{1}=0\)，即\(p^{2}=2y^{2}\)，\(p = -\sqrt{2}y\)（因为\(y(0)=-1\)），再解\(\frac{dy}{y}=-\sqrt{2}dx\)，并结合初始条件可得\(y=\frac{1}{2}e^{-2x}\)。
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